Skip to main content

7. Tjedan

  • Neprekidnost funkcije i asimptote

Uvod​

Neprekidnost funkcije i asimptote ključni su koncepti u matematičkoj analizi. Neprekidnost opisuje ponašanje funkcije u određenoj točki, dok asimptote opisuju ponašanje funkcije na beskonačnosti ili u točkama gdje funkcija nije definirana. U ovoj lekciji ćemo detaljno razmotriti ove koncepte uz korak po korak riješene primjere.

1. Definicija neprekidnosti​

Funkcija f(x)f(x) je neprekidna u točki aa ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

  1. Funkcija je definirana u aa: f(a)f(a) postoji.
  2. Limes funkcije u aa postoji: lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L.
  3. Vrijednost funkcije u aa jednaka je limesu funkcije u aa: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a).

1. Primjer - Provjera neprekidnosti​

Zadana je funkcija f(x)=x2+3x+2f(x) = x^2 + 3x + 2. Provjerite je li neprekidna u točki x=1x = 1.

Rješenje:

  1. Provjera definiranosti: f(1)=(1)2+3⋅(1)+2=6f(1) = (1)^2 + 3 \cdot (1) + 2 = 6.
  2. Računanje limesa: lim⁡x→1(x2+3x+2)=(1)2+3⋅(1)+2=6\lim_{x \to 1} (x^2 + 3x + 2) = (1)^2 + 3 \cdot (1) + 2 = 6.
  3. Usporedba: lim⁡x→1f(x)=f(1)=6\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 6.

Zaključak: Funkcija je neprekidna u x=1x = 1.

2. Primjer - Diskontinuitet​

Zadana je funkcija f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}. Ispitajte neprekidnost u x=1x = 1.

Rješenje:

  1. Provjera definiranosti: f(1)f(1) nije definirano jer nazivnik postaje 0.
  2. Računanje limesa: lim⁡x→1x2−1x−1=lim⁡x→1(x−1)(x+1)x−1=lim⁡x→1(x+1)=2\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2.
  3. Zaključak: Funkcija nije neprekidna u x=1x = 1 jer nije definirana u toj točki.

2. Neprekidnost na intervalu​

Funkcija jeneprekidna na intervaluako je neprekidna u svakoj točki intervala.

1. Primjer​

Zadana je funkcija f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin(x). Provjerite je li neprekidna na intervalu [0,π][0, \pi].

Rješenje:
Funkcija sin⁡(x)\sin(x)je neprekidna na cijelom skupu realnih brojeva, pa je neprekidna i na intervalu[0,π][0, \pi].

3. Točke diskontinuiteta​

  1. Diskontinuitet prve vrste (skok): Postoje jednostrani limesi, ali nisu jednaki.
  2. Diskontinuitet druge vrste: Jedan ili oba jednostrana limesa ne postoje ili su beskonačni.

1. Primjer - prve vrste​

Zadana je funkcija:

f(x)={x+1,x<2x2,x≥2f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ x^2, & x \geq 2 \end{cases}

Ispitajte neprekidnost u x=2x = 2.

Rješenje:

  1. Limes s lijeva: lim⁡x→2−f(x)=2+1=3\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 + 1 = 3.
  2. Limes s desna: lim⁡x→2+f(x)=(2)2=4\lim_{x \to 2^+} f(x) = (2)^2 = 4.
  3. Zaključak: Limesi nisu jednaki, pa funkcija ima diskontinuitet prve vrste u x=2x = 2.

2. Primjer - druge vrste​

Zadana je funkcija f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}. Ispitajte neprekidnost u x=0x = 0.

Rješenje:

  1. Limes s lijeva: lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.
  2. Limes s desna: lim⁡x→0+1x=+∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty.
  3. Zaključak: Funkcija ima diskontinuitet druge vrste u x=0x = 0.

4. Asimptote​

1. Horizontalne asimptote​

Horizontalna asimptota postoji ako:
lim⁡x→∞f(x)=Lililim⁡x→−∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{ili} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L.

Primjer​

Zadana je funkcija f(x)=2x2+3x2+1f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}. Pronađite horizontalnu asimptotu.

Rješenje:
lim⁡x→∞2x2+3x2+1=lim⁡x→∞2+3x21+1x2=2\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2.
Horizontalna asimptota je y=2y = 2.

2. Vertikalne asimptote​

Vertikalna asimptota postoji u točki x=ax = a ako:
lim⁡x→a−f(x)=±∞ililim⁡x→a+f(x)=±∞\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \quad \text{ili} \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty.

Primjer​

Zadana je funkcija f(x)=1x−3f(x) = \frac{1}{x - 3}. Pronađite vertikalnu asimptotu.

Rješenje:
lim⁡x→3−1x−3=−∞ilim⁡x→3+1x−3=+∞\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x - 3} = -\infty \quad \text{i} \quad \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x - 3} = +\infty.
Vertikalna asimptota je x=3x = 3.

3. Kose asimptote​

Kosa asimptota postoji ako se funkcija približava pravcu oblika y=kx+ny = kx + n kad x→∞x \to \infty ili x→−∞x \to -\infty.
Koeficijenti se računaju:
k=lim⁡x→∞f(x)x,n=lim⁡x→∞[f(x)−kx]k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx].

Primjer​

Zadana je funkcija f(x)=x+1xf(x) = x + \frac{1}{x}. Pronađite kosu asimptotu.

Rješenje:

  1. Računanje kk: k=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞(1+1x2)=1k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = 1.
  2. Računanje nn: n=lim⁡x→∞[f(x)−kx]=lim⁡x→∞(x+1x−x)=0n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx] = \lim_{x \to \infty} \left(x + \frac{1}{x} - x\right) = 0.
    Kosa asimptota je y=xy = x.